Маленький математический конкурс
Один дневник натолкнул на мысль создать такую темку. Уже занимался подобной фигней на одном сайте, но там раздавал плюсики за правильные ответы. Тут к сожалению раздавать ничего не могу, поэтому предлагаю просто порешать задачки. Правила простые - пишите ответ на задачку, только ответ. После того как верный ответ дан - пишем уже ее решение, когда дано и верное решение - задачка считается решенной(один человек не может предоставить и ответ и решение)
Начнем с двух простых задачек. На 4 минуты и на 45 секунд.
1.
У нас есть 11 ящиков, допустим
A B C D E F G H J K L
Есть 3 кнопки, первая перемещает ящики так, что из исходной комбинации получается следующая:
A B C D E F G H J K L
B E D L K H A C F J G
Вторая перемещает ящики так, что из того, что мы только что получили получаем:
A B C D E F G H J K L
B E D L K H A C F J G
D H K B G F E L A J C
Нажав третью, получаем:
A B C D E F G H J K L
B E D L K H A C F J G
D H K B G F E L A J C
G L E K H C B F A D J
Если мы возьмем любую другую перестановку и нажмем кнопку 1/2/3, то замена пройдет по той же логике. То есть если при нажатии кнопки три B переходит в К, то во всех случаях В будет переходить в К.
Было совершенно множество нажатий на все кнопки, причем известно, что на первую нажали 13 млрд раз, на вторую - 6 млн, а на третью - 3512 раз. Необходимо узнать, в каком порядке в результате расположены ящики
 
2.
Есть 1 собака вне клетки и 1 марик в клетке. Каждый день 1 собака съедает одного марика или маленького марика в том месте, где находится, рожает песика, который через два дня взрослеет, марик рожает маленького марика, который взрослеет с такой же скорость и каждый марик убивает песика в клетке, собак можно запускать во внутрь и выпускать их оттуда, причем происходит это в таком порядке:
Песики и марики взрослеют. Рождаются песики . Рождаются маленькие марики. Собаки переходят куда им сказали. Марики убивают песиков(предпочтение - старшим). Собаки едят мариков и маленьких мариков(предпочтение - младшим) .
За сколько дней собаки съели всех мариков?
Ответ: 3.
Решение:
В первый день собака рожает песика, залезает в клетку и убивает там маленького марика. Также она убивает маленького марика во второй день, а в третий день в клетку залезает песик, выросший во вторую собаку, и съедает самого марика. GG WP.
3.

Имеется правильный треугольник со стороной а, вписанный в окружность. На одной из сторон взята точка, делящая ее в отношении 1/2, как показанно на рисунке. Из это точки опущен перпендикуляр, как показанно на рисунке. Взята ближайшая точка на большой окружности, обладающая следующим свойством - она равноудалена от концов перпендикуляра. Построенна окружность с центром в этой точке и радиусом равным расстоянию до концов перпендикуляра. Необходимо найти отношение площадей большой и малой окружности.